Sinan Sertöz
Matematiğin
Aydınlık
Dünyası
Sinan Sertöz, Matematiğin Aydınlık Dünyası



Kapak
Önsöz
Teşekkürler
Sunuş

1. Bölüm
Bir, İki ve Çok

- Püsküllü Bela
- Ezberle!
- Çay ve Elektrik
- Nerede Satılır?
- İcat mı Keşif mi
- Sağdan Say!
- Sıfır Deyip Geçme!
- Çadır, Geometri ve Şarap
- Şah ve Mat
- İnce Hesap
- Sonsuzun Ucu Bucağı
- Uzun Sözün Kısası
- Notlar
  - Eflatun ve Gödel
  - Abel'in Öyküsü
  - Galois'nın Öyküsü
  - Osmanlı Boş Durur mu?
  - Hayyam Üzerine
  - Eflatun Platon'un Nesi Olur?

2. Bölüm
Sıfırdan Sonsuza

- Sonsuzluk Beni Bekle
- Matematikte Deney
- Pi Sayısı Akla Sığar mı?
- Spiraller, Helisler, Elipsler...
- Çinicilik ve Yıldızlar
- İznik'ten de Öte
- Fraktallar
- Fraktallardan Yıldızlara
- Sayılar mı Çıldırdı?
- Arayan Buluyor
- Eski Çin'de Dik Üçgenler
- Sayıların da Hastası Var
- Yaşamak Akla Zarar
- Notlar
  - Spiral ve Helis
  - Fraktal Yakalamak
  - Altın Oran ve Fibonnacci Sayıları

3. Bölüm
Hiçlikten Varlığa Giden Yol

- Perge'den Çıktık Yola
- Zamanı ve Mekânı Terk Ediyoruz
- Sonsuzluğun Yolcuları
- Milet'te Mola Veriyoruz
- Notlar
  - Koni Kesitleri
  - Kaç Tane Asal Sayı Var?
  - Kitab-ı Mahrutat

4. Bölüm
Ben Bilirim

- Bizim de Kralımız Var
- Bilmek ya da Bilmemek
- Önemli iş
- İstanbul'dan Sicilya'ya
- Soyut Neye Yarar?
- Üretmenin Dik Âlâsı
- Çakıl Taşlarında Bilim
- Perge'den Prag'a
- Kumsalda Final
- Notlar
  - Fermat'nın Hikâyesi
  - Piri ve Şeydi Reisler
  - Kitab-ı Bahriye: Tıpkı Basımı ve Aslı
  - Brahe ve Kepler
  - Takiyeddin Efendi
  - Newton ve Pençesi
- Bitirirken

www.1001Kitap.com





    Notlar


    Spiral ve Helis

    Yavaş dönen bir plak düşünün. Bu plağın üzerinde, plağın döndüğünden habersiz bir böceğin merkezden dışarıya doğru sabit bir hızla yürüdüğünü düşünün, işte bu böceğin plağın merkezi etrafında çizdiği eğri bir spiraldir. "Plak da nedir?" diye soran genç okuyucular plak yerine kompakt disk ve böcek yerine de diski okuyan laser ışınım düşünebilirler. Doğada spirali en çok deniz minarelerinin kabuklarında görüyoruz. Arşimed'in spiral eğrisini kullanarak bir açıyı üçe böldüğü rivayet edilirse de o ayrı bir kitabın konusu...

    Bir helis eğrisi çizmek için elinize normal boyutlarda bir kağıt alın. Örneğin bu kitabın en beğenmediğiniz sayfasını koparıp bu iş için kullanabilirsiniz. Bu kağıdın sol alt köşesinden sağ üst köşesine bir doğru çizin. Kağıdı sol kenarı sağ kenarı ile uç uca gelecek şekilde kıvırıp rulo yapın. Az önce çizdiğiniz çizginin şimdiki hali bir helistir. Elinizdeki rulonon altından başlayıp, etrafında bir tur attıktan sonra üst kenarına gelecek eğriler arasında en kısa olanı helistir. Sarmaşık bitkileri milyonlarca yıldır bunu bilirler ve ağaçlara sarılırken bir helis eğrisi takip ederler...


    Fraktal Yakalamak

    Doğadaki olayları matematiksel bir modelle açıklamaya kalkıştığınızda pek çok kez bir "sınır" problemiyle karşılaşırsınız. Soru kısmı aynı ama soruyu besleyen verileri değişebilen problemlere "sınır problemleri" denir. Örneğin, arabaya binip saatte altmış kilometre hızla yirmi dakika boyunca arabayı dümdüz sürerseniz nereye varırsınız? Elbette ki bu sorunun cevabı seyahate nereden başladığınıza ve ne yöne gittiğinize bağlıdır, işte bu problem bir sınır problemidir. Arabaya bindiğiniz noktanın koordinatları ve hareket yönünüz de problemin sınır değerleridir.

    Şöyle bir sınır problemi düşünelim: Düzlemdeki bir noktayı alacaksınız ve bu noktanın koordinatlarını kullanarak bir iş yapacaksınız. Bu işin de ancak "iyi" ya da "kötü" sonuçlanabileceğini varsayalım. Düzlemdeki bütün noktaları deneyelim ve sonucun kötü çıkmasına neden olan noktaları siyaha boyayalım, diğer noktalar beyaz kalsın. Bu işlemin sonunda düzlemde belirecek şekli tarif etmeye çalışalım. Bu hayali senaryo aslında pek çok fiziksel olayın matematiksel modelinde ortaya çıkan şemadır. Çoğu kez düzlemde siyah bir bölge olur ve bu problem üzerine çalışan kişinin en çok ilgilendiği bilgiler de bu sınır eğrisi üzerindedir. Fraktal eğrileri de ilk kez böyle bir sınır probleminde siyah bölgeyle beyaz bölgeyi ayıran çizgiler olarak ortaya çıkmıştır.


    Altın Oran ve Fibonacci Sayıları

    İtalyan matematikçi Fibonacci yazdığı matematik kitaplarından birinde tavşan çiftliği olan bir arkadaşıyla ilgili olduğunu iddia ettiği bir problem sorar. Bu probleme göre arkadaşının çiftliğindeki tavşanlar doğdukları ilk iki ay yavru yapmazlar. Üçüncü aydan itibaren her çift her ay bir çift yavru yapar. Buna göre Fibonacci'nin arkadaşı bir çift tavşanla başlarsa kaç ay sonra kaç çift tavşanı olur?

    İlk ay yeni doğmuş bir çift tavşanımız olsun. Matematik problemlerinde bu yavruların anasız babasız nasıl büyütülecekleri konusuna pek girilmez! İkinci ayda bu tavşanlar henüz yavrulamadıkları için hâlâ bir çift tavşanımız var. Üçüncü ay bunlar bir çift yavru verecek ve iki çift tavşanımız olacak. Yeni doğan çift dördüncü ay doğurmayacak, oysa ana babaları yeniden bir çift yavru yapacak ve toplam üç çift tavşanımız olacak. Bu şekilde devam edersek pek bir yere varamayacağız galiba. Düşünsenize 100. aya kadar hesabı böyle götürmemiz mümkün mü? Öyleyse daha cesur düşünelim: Örneğin 100. ayda kaç tavşanımız olacağını doğrudan hesaplamaya çalışalım. 99. ayda kaç tavşanımız varsa onların hepsi 100. ayda da olacak. Bunların bir kısmı yavrulayacak. Yavrulayacak olanların en az iki aylık olması gerektiğine göre 100. ayda yavrulayacak olanlar 98. ayda sahip olduğumuz tavşanların hepsi olacak. Demek ki 100. aydaki tavşan sayısını bulmak için 98. aydaki tavşan sayısıyla 99. aydaki tavşan sayısını toplamak gerekiyor.

    Bu hesaba bazı itirazlar yükselebilir. Biz sadece 100. aydaki sayıyı merak ediyorduk. Şimdi onu bulmak için hem 98. hem de 99. aylardaki sayıyı bulmamız gerekecek, işimiz birken ikiye katlandı. Ama durun. Bu hesabı 100. ayda değil üçüncü aydan itibaren yapalım. Birinci ve ikinci aylarda birer çift tavşanımız vardı. Demek ki üçüncü ay iki çift tavşanımız olacak. Şimdi ikinci aydaki bir çift ile üçüncü aydaki iki çifti toplayalım. Dördüncü aydaki üç çifti bulacağız. Böylece her ay daha önceki iki aydaki tavşan çiftlerinin sayısını toplarsak o ay kaç çift tavşanımız olacağını bulacağız.

    Yukardaki iki paragrafta kullandığımız matematik üslubu insanlığın matematiksel sembolleri icat edinceye kadar kullandıkları üsluptur. Oysa şimdi bütün bunları semboller yardımıyla kısaca yazabiliriz. Buna göre Fibonacci dizisi şöyle tanımlanır: Eğer n'inci aydaki tavşan çiftlerinin sayısını ile gösterirsek, dizisi aşağıdaki bağıntılarla tanımlanır:

    Buna göre Fibonacci sayılarının ilk birkaç tanesi şöyle sıralanacak; 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181.
    Bu arada unutmadan yukarda merak ettiğimiz 100. ayda kaç çift tavşan olacak sorusunun cevabını da yazalım;

    Şimdi de Fibonacci sayılarını bir kenara bırakıp tamamen farklı bir konuya geçelim; altın oran...

    Antikçağda ressamlar ve heykeltraşlar ideal insan ölçüleri üzerine kafa yormuşlar. Öyle ya sokaklarda sık sık rastladığımız o ölçüsü çok az kaçmış heykellerin ne denli gülünç göründüğünü ve günlerce gazetelerde alay konusu olduğunu düşünün. Eskiçağda "onur" daha önemli olduğu için olsa gerek sanatçılar böylesi gülünç heykeller yapmak istememişler. Bunun için bir ölçü bulmuşlar. İddiaya göre ideal insanın ölçüleri şöyle olmalıymış: Boy uzunluğunun göbekten ayak uçlarına olan uzunluğa oranı, göbekten ayak uçlarına olan uzunluğun göbekten başucuna olan uzunluğa olan oranına eşit. Sembolsüz matematik yapmaya alışık olmayan yirmibirinci yüzyıl okuyucusu için bunu cebirsel olarak yazmak gerekirse: İdeal insanın boyu x birim olsun. Göbeğinden ayak ucuna olan uzaklık da y birim olsun. Bu durumda göbeğinden başucuna olan uzaklık da x - y birim olacak. İddiaya göre ideal insandaki ölçüler şu denklemi sağlamalı:


Klasik sanatta çok kullanılan altın dikdörtgenin özelliği, kenarlarının birbirine oranının içinden bir kare atılarak elde edilen dikdörtgenin kenarlarının oranına eşit olmasıdır. Kalan dikdörtgen de altın dikdörtgen olduğu için ondan da bir kare atılırsa yine bir altın dikdörtgen kalır.
Altın dikdörtgen elde etmek için bir ABCD karesi çizin. CD kenarının orta noktası F ise, CD kenarını FG = FB olacak şekilde uzatın. ACGH dikdörtgeni bir altın dikdörtgendir.

    İdeal insanda sağlanması istenen bu orana, yani x / y oranına, altın oran denir ve ile gösterilir. Yukardaki denklemin sağ tarafındaki pay ve paydayı x'e bölerek altın oran, yani için şu denklemi buluruz:

    Buradan buluruz ve 'nin birden büyük olduğunu göz önüne alarak,
buluruz. Aralarında Mona Lisa tablosunun da bulunduğu pek çok eserin tuvalin içine bu oran gözetilerek yerleştirildiği iddia edilir. Sessiz sinemanın ünlü yönetmeni Eisenstein, Potemkin Zırhlısı filmindeki dramatik öğeleri altın orana göre yerleştirdiğini söyler...

    Altın oranla Fibonacci serileri arasında bir bağlantı olacağından şüphelenmeye başlamanızın zamanı geldi. Hiç bekletmeden bu ilişkiyi yazayım:

    Bu bağıntıyı "Fark Denklemleri" tekniğiyle ya da "Kuvvet Serileri" tekniğiyle keşfetmek mümkün. Ama en kolayı yukardaki ilişkiyi alıp tümevarım yoluyla doğru mu diye kontrol etmek. Her üç yöntemi de bir başka kitapta anlatmaya söz verip bu konuyu burada kapatıyorum. Ama ardışık iki Fibonacci sayısının oranının altın orana yakınsadığını da söylemeden edemeyeceğim... Örneğin:




<< Önceki Sayfa - Ana Sayfa - Sonraki Sayfa >>