Sinan Sertöz
Matematiğin
Aydınlık
Dünyası
Sinan Sertöz, Matematiğin Aydınlık Dünyası



Kapak
Önsöz
Teşekkürler
Sunuş

1. Bölüm
Bir, İki ve Çok

- Püsküllü Bela
- Ezberle!
- Çay ve Elektrik
- Nerede Satılır?
- İcat mı Keşif mi
- Sağdan Say!
- Sıfır Deyip Geçme!
- Çadır, Geometri ve Şarap
- Şah ve Mat
- İnce Hesap
- Sonsuzun Ucu Bucağı
- Uzun Sözün Kısası
- Notlar
  - Eflatun ve Gödel
  - Abel'in Öyküsü
  - Galois'nın Öyküsü
  - Osmanlı Boş Durur mu?
  - Hayyam Üzerine
  - Eflatun Platon'un Nesi Olur?

2. Bölüm
Sıfırdan Sonsuza

- Sonsuzluk Beni Bekle
- Matematikte Deney
- Pi Sayısı Akla Sığar mı?
- Spiraller, Helisler, Elipsler...
- Çinicilik ve Yıldızlar
- İznik'ten de Öte
- Fraktallar
- Fraktallardan Yıldızlara
- Sayılar mı Çıldırdı?
- Arayan Buluyor
- Eski Çin'de Dik Üçgenler
- Sayıların da Hastası Var
- Yaşamak Akla Zarar
- Notlar
  - Spiral ve Helis
  - Fraktal Yakalamak
  - Altın Oran ve Fibonnacci Sayıları

3. Bölüm
Hiçlikten Varlığa Giden Yol

- Perge'den Çıktık Yola
- Zamanı ve Mekânı Terk Ediyoruz
- Sonsuzluğun Yolcuları
- Milet'te Mola Veriyoruz
- Notlar
  - Koni Kesitleri
  - Kaç Tane Asal Sayı Var?
  - Kitab-ı Mahrutat

4. Bölüm
Ben Bilirim

- Bizim de Kralımız Var
- Bilmek ya da Bilmemek
- Önemli iş
- İstanbul'dan Sicilya'ya
- Soyut Neye Yarar?
- Üretmenin Dik Âlâsı
- Çakıl Taşlarında Bilim
- Perge'den Prag'a
- Kumsalda Final
- Notlar
  - Fermat'nın Hikâyesi
  - Piri ve Şeydi Reisler
  - Kitab-ı Bahriye: Tıpkı Basımı ve Aslı
  - Brahe ve Kepler
  - Takiyeddin Efendi
  - Newton ve Pençesi
- Bitirirken

www.1001Kitap.com





    Fraktallar

    Beyin enerjimizi matematik bilimine yöneltmemizin nedeni evreni izah etme kaygısı değil. Ama bu bilgilerle daha sonra doğaya baktığımızda bu sonuçların onun içinde ta başından beri var olduğunu görüyoruz. Etrafımızda var ola gelen ama bizim yakın zamana kadar görmesini bilmediğimiz geometrik gerçeklerden biri de fraktallar; öyle bir cisim olsun ki hangi noktasını alırsak alalım büyütüp baktığımızda yine başlangıçtaki şekille karşılaşalım ve bu işleme ne kadar devam edersek edelim aynı olay tekrarlansın, işte fraktal, yani kendine benzerlik kavramının tanımı bu. Aslında doğa aynı doğa. Değişen tek şey matematiğin zenginleştirdiği algılama gücümüz.

Kolay elde edilebilen bir fraktal: Bir kare çizin, bunu dörde bölün, sol üst ve sağ alttaki küçük kareleri atın. Bu kuralı kalan her kareye tek tek ve sonsuz kez uygulayın.

    Tuğrul Hakioğlu (*) - Fraktallar dediğimiz olaylar gerçekte kendine benzer yapılar oluyor. Bu kendine benzer yapılar basit geometrik şekillerle de olabilir, doğanın içerisindeki karmaşık şekillerle de olabilir, bunların kendine benzer hale getirilmesiyle de. Örneğin bir karenin nasıl kendine benzer hale getirileceğini göstereyim. Şimdi bir kare alıyoruz. Daha sonra diyelim bu kareyi dörde böldük. Şimdi ben bir kural koyuyorum: Dörde bölünmüş her karede sol üst ve sağ alt kareleri ana resimden çıkarıyorum. Karşıma iki tane kare çıkıyor. Şimdi bunların her birini dörde bölüyorum ve az önce koyduğum kurala göre içlerindeki küçük karelerin sol üst ve sağ altta olanlarını siliyorum. Bir kareyle başladım elimde dört tane kare var. Şimdi bunların her birini ayrı ayrı böldüğüm zaman, ... , bunların da her birini ayrı ayrı bölebilirim. Eğer ben ilk başladığım kare yerine, onu dörde böldükten sonra elde ettiğim karelerden biriyle başlasaydım, yani sağ üst köşede elde edilen kareyi bir sefere mahsus silseydim, sonunda elde edeceğim şekle bakarak hangi kareden başladığımı söylemeniz mümkün olmayacaktı. Eğer bu kendine benzer cisim sonsuz bir uzatma sonucu elde edilebilmişse, matematiksel olarak tabii, o zaman sonsuz uzatmalar sonucu hep kendine benzer detaylar ortaya çıkacak. Tabii bunların hiçbir zaman sonu gelmeyecek. Fakat doğanın içerisinde böyle sonsuz iterasyonlar mümkün değil. Doğada kendine benzerliğin belli bir sınırı var. Örneğin bir deniz kabuğunu ele alın. Bunun üzerindeki şekillere bakın. Bunun her birisinin kıyısında ve köşesinde deniz kabuğunun kendi şekline benzer şekiller ortaya çıkabilir. Ondan sonra bunları büyütürsünüz. Biraz daha benzer şekiller ortaya çıkabilir. Fakat bunun sonu var. Tabii ki deniz kabuğunun atomlarına kadar yaklaşamazsınız, hiçbir zaman deniz kabuğunun kendine benzer bir şekil ortaya çıkmayacak. Demek ki doğada kendine benzerliğin belli bir sınırı var.


    Kitaplarda da fraktal olarak verilen şekiller genel olarak kenarları zikzaklı şekillerdir. Sonra altlarında yine bu şeklin aynısından bir tane daha vardır. Güya yukardaki şeklin zikzaklı kenarını mikroskop altında bin küsur defa büyütüp ayrıntılarına bakarsanız o zikzaklı şeklin aynısını görürmüşsünüz. Bunun teorik olarak doğru olduğunu kabul etsek bile böylesine uçuk bir şeyi çizmeyi kim, niye düşünmüştür dersiniz, işte doğanın muazzamlığına hayran olup kalmak için bir başka örnek. Evet "doğa" kelimesini bilerek kullandım. Fraktallar canı sıkılan matematikçilerin uydurduğu gösteriş amaçlı şekiller değil bazı doğal olayları açıklamak için kurulan modellerin çözüm uzaylarıdır.

    Örneğin bir metal sarkacın altına onu etkileyecek mesafelere iki mıknatıs koyalım öyle ki sarkaç salındıktan sonra bu iki mıknatıstan birinin üzerinde dursun. Bu mıknatıslardan biri kırmızı biri mavi olsun. Şimdi sorduğumuz soru sarkacı hangi konumlardan salınıma bıraktığımızda sarkaç salınmasını bitirince gidip mavi mıknatısın üzerinde durur. Sarkacı salmıma bırakmak üzere tuttuğumuz başlangıç noktasında sarkacın ipi boyunca hayali bir çizgi çizelim ve bu çizginin mıknatısların olduğu düzlemi kestiği yere bir işaret koyalım. Daha sonra sarkacı bırakalım. Sarkaç salınsın ve dursun. Eğer mavi mıknatısın üzerinde durursa o işaretlediğimiz noktayı maviye boyayalım. Yok eğer kırmızı mıknatısın üzerinde durursa o noktayı kırmızıya boyayalım. Düzlemdeki bütün noktaları bu yolla boyadığımızı düşünelim. Ortaya çıkan şeklin bir fraktal olduğunu duymak sizi heyecanlandırmıyor mu?


    İki parametreye bağlı pek çok doğal oluşum için başlangıç parametreleriyle sonuç arasındaki ilişkiyi düzlemde belirtmeye kalktığınız zaman yukardaki örnekte olduğu gibi karşınıza fraktallar çıkar. Belki daha da heyecan verici olan taraf o fraktalların milyonlarca yıldır orada olduğunu ve sizin onların farkına yeni vardığınızı hatırlamanızdır. işte o zaman etrafa "daha neler var da ben görmüyorum" diye biraz ürkerek, biraz da saygıyla bakmaya başlayabilirsiniz.

* Bilkent Üniversitesi Fen Fakültesi öğretim üyesi.


<< Önceki Sayfa - Ana Sayfa - Sonraki Sayfa >>