Sinan Sertöz
Matematiğin
Aydınlık
Dünyası
Sinan Sertöz, Matematiğin Aydınlık Dünyası



Kapak
Önsöz
Teşekkürler
Sunuş

1. Bölüm
Bir, İki ve Çok

- Püsküllü Bela
- Ezberle!
- Çay ve Elektrik
- Nerede Satılır?
- İcat mı Keşif mi
- Sağdan Say!
- Sıfır Deyip Geçme!
- Çadır, Geometri ve Şarap
- Şah ve Mat
- İnce Hesap
- Sonsuzun Ucu Bucağı
- Uzun Sözün Kısası
- Notlar
  - Eflatun ve Gödel
  - Abel'in Öyküsü
  - Galois'nın Öyküsü
  - Osmanlı Boş Durur mu?
  - Hayyam Üzerine
  - Eflatun Platon'un Nesi Olur?

2. Bölüm
Sıfırdan Sonsuza

- Sonsuzluk Beni Bekle
- Matematikte Deney
- Pi Sayısı Akla Sığar mı?
- Spiraller, Helisler, Elipsler...
- Çinicilik ve Yıldızlar
- İznik'ten de Öte
- Fraktallar
- Fraktallardan Yıldızlara
- Sayılar mı Çıldırdı?
- Arayan Buluyor
- Eski Çin'de Dik Üçgenler
- Sayıların da Hastası Var
- Yaşamak Akla Zarar
- Notlar
  - Spiral ve Helis
  - Fraktal Yakalamak
  - Altın Oran ve Fibonnacci Sayıları

3. Bölüm
Hiçlikten Varlığa Giden Yol

- Perge'den Çıktık Yola
- Zamanı ve Mekânı Terk Ediyoruz
- Sonsuzluğun Yolcuları
- Milet'te Mola Veriyoruz
- Notlar
  - Koni Kesitleri
  - Kaç Tane Asal Sayı Var?
  - Kitab-ı Mahrutat

4. Bölüm
Ben Bilirim

- Bizim de Kralımız Var
- Bilmek ya da Bilmemek
- Önemli iş
- İstanbul'dan Sicilya'ya
- Soyut Neye Yarar?
- Üretmenin Dik Âlâsı
- Çakıl Taşlarında Bilim
- Perge'den Prag'a
- Kumsalda Final
- Notlar
  - Fermat'nın Hikâyesi
  - Piri ve Şeydi Reisler
  - Kitab-ı Bahriye: Tıpkı Basımı ve Aslı
  - Brahe ve Kepler
  - Takiyeddin Efendi
  - Newton ve Pençesi
- Bitirirken

www.1001Kitap.com





    Notlar


    Eflatun ve Gödel

    Edison elektrik ampulünü bulduğu zaman bu tartışmasız büyük bir icattı. Kristof Kolomb, Yeni Kıtayı bulduğu zaman bu da tartışmasız büyük bir keşifti. Edison olmayan bir şeyi bulmuş, icat etmişti. Kolomb var olan ama daha önce yeri bilinmeyen bir kıtayı bulmuş, keşfetmişti. Pisagor dik üçgen teoremini bulduğu zaman Edison'a mı yakındı Kolomb'a mı? Galois'nın kendi adıyla anılan teoriyi bulması icat mı keşif mi? Matematikçi mucit midir kâşif midir? Bu sorular tartışmaya açıktır. Her iki görüş de çok sağlam bir biçimde savunulabilir. Daha çok taraftar toplayan görüş, biraz da matematik dünyasının muazzamlığı karşısında duyulan bir hayranlıkla olsa gerek, Eflatuncu görüştür. Buna göre evrende matematik vardır ve biz onu değişik açılardan gözler ve tasvir ederiz. Bu yaklaşıma göre biz matematikçiler bir peyzaj ressamıyız. Hepimiz tuvalimizi ayrı bir bakış açısına kurmuş, o matematik denen olağanüstü manzaranın bir köşesini görüp çizmeye çalışıyoruz.

    Bir başka görüşe göre de biz ortaya çıkarmadan önce matematik yok. Ancak biz onu anlayıp ispat edince o var. Bu görüşe hiç kanım ısınamadığı için ayrıntısına giremeyeceğim. Üstelik bu yüzyılın başlarında Gödel bu görüşü savunan formalistlerin kalelerinde önemli bir delik açtı. Gödel matematikte herşeyi ispat etmenin mümkün olmadığını gösterdi. Bunu da son derece ikna edici bir yolla yaptı. Sonlu sayıda aksiyomla matematik yapmaya başladığımızı düşünelim. Gödel bu noktada bu aksiyomları kullanarak yazabileceğimiz anlamlı her cümleye karşı bir sayı dizisi kurdu. Daha sonra ispatlanabilecek bir cümleye karşılık gelen sayı dizisinin özel bir biçim göstermesi gerektiğini buldu. Bu şu demek: Bazı anlamlı cümleleri yazabiliriz ama sistem içinde ispatlayamayız. Bu sonuç birkaç varsayımla yola çıkıp tüm matematiği icat etmek isteyenlere felsefelerini gözden geçirmeleri için güçlü bir neden oluşturdu. Eflatun'un yaklaşımını biraz alçakgönüllülükten biraz da romantiklikten benimsemiş olanlar da sessizce sevindiler...


    Abel'in Öyküsü

    Niels Henrik Abel, 1802 ile 1829 yılları arasında yaşamış Norveçli bir matematikçi. O zamanlar genç bir insanın şöhreti yakalaması için tek çaresi Paris gibi büyük merkezlerdeki tanınmış kişilerin takdirlerini kazanabilmek. Abel de Paris'te zamanın büyük isimlerinden Cauchy'ye bir çalışmasını takdim eder. Oysa Cauchy kendi ünüyle meşgul, bu kuzeyden gelen genç adamın verdiği çalışmayı okumadan kaybeder. Abel de Berlin'de tanıştığı Crelle adlı bir matematikçinin teklifine uyarak onun yeni çıkaracağı bir matematik dergisine makale göndermeye başlar. Bugün Crelle Dergisi (*1) takma adıyla bilinen bu çok prestijli derginin ilk sayısında altı makale yayınlar ve matematik dünyasında tanınması da bu sayede olur. Abel'in matematiğe katkısı eliptik integral adıyla bilinen bazı tür integrallerin kavram olarak anlaşılmasını sağlamaktan ibarettir. Bu integrallerin nasıl hesaplanacağı hâlâ bilinmemekle birlikte altlarında yatan temel kavramların ne olduğu Abel'in ve çağdaşlarının çalışmalarıyla aydınlanmıştır.

    Abel'in matematik dünyası dışında da tanınmasını sağlayan çalışması ise beşinci derece polinom denklemlerinin çözümleri ile ilgilidir. Birinci dereceden bir polinom denklem x + b = 0 şeklinde yazılır ve çözümünün x = - b olduğu kolayca görülür, ikinci dereceden bir polinom denklem x² + bx + c = 0 şeklinde yazılır ve genel olarak iki çözümü vardır. Bu çözümler ve  şeklinde yazılır. Eğer b²- 4c sıfır ise o zaman her iki formül de aynı çözümü verecektir.

    Birinci ve ikinci derece polinom denklemlerini çözerken görürüz ki çözümler denklemlerin katsayılarından yararlanılarak elde ediliyor. Bu katsayıları alıp yalnızca toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve kök alma işlemlerini belli sıralarda uygulayarak çözümleri bulduk. Bunu her zaman yapabilir miyiz? Genel olarak n pozitif bir tamsayı ise denklemininin çözümlerini sayılarına dört işlem ve kök alma operasyonları uygulayarak bulabilir miyiz? Bu sorunun cevabı n = 1 ve n = 2 için ilk çağlardan beri biliniyordu. Sıra n = 3 için bir cevap bulabilmekteydi. Bu cevap 15. yüzyılda İtalyan matematikçi Cardano tarafından bulundu. Cardano'nun arkadaşı Ferrari de n=4 için bu çeşit denklemleri katsayılar cinsinden çözmeyi başardı. Bu çözümlerin ifadeleri yukardaki hallerle kıyaslanamayacak kadar karışık olduğu için hiçbir ders kitabında yer almaz.

    İnsanlar dördüncü derece denklemlerden sonra beşinci derece denklemlerle tam üç yüzyıl hiçbir sonuç alamadan uğraşmışlardır, işte Abel burada tarih sahnesine çıktı. Abel beşinci dereceden genel bir polinomun köklerinin bilinen yöntemlerle bulunmasının mümkün olmadığını gösterdi. Burada iki kavramı açmak gerekir. Birincisi "genel" kelimesi; bazı özel beşinci derece denklemlerin çözümlerini bulabiliriz. Ama bizim aradığımız her denkleme aynı şekilde uyguladığımızda bize çözümleri verecek bir metot. Örneğin ikinci derece denklemler için bir çözüm formülümüz var ve katsayılar ne olursa olsun formülde yerine koyunca cevabı buluyoruz, işte Abel böyle bir metodun beşinci derece denklemler için var olmadığını gösterdi, ikinci olarak üzerinde durulması gereken kilit kavram da işte şimdi yeniden kullandığımız "bir şeyin var olamayacağını göstermek" kavramı. Bunu bir örnekle açıklamak daha anlamlı olur. Örneğin "1 + 1 = 3" denklemini doğru kılmak mümkün değildir. Bunun olamayacağını birkaç fasulye kullanarak bile gösterebilirsiniz. Ama kafası fasulyelere dahi basmayan birisi size dönüp "Sen beceremedin diye bunu bize imkânsız diye tanıtıyorsun. Oysa ben biraz uğraşsam bunu gösterebilirim." diyebilir. (Açıyı üçe bölme problemini çözmenin olanaksız olduğunu duyarsanız bu noktayı unutmayın!) Abel'in yaptığı da her beşinci dereceden denklemin çözümünü verecek bir genel yöntem bulmanın mümkün olmadığını, bazılarına 'fasulyeden' gibi görünen yöntemlerle göstermek.

    Abel matematikte elde ettiği parlak sonuçlara rağmen hayatı boyunca doğru dürüst bir iş bile bulamadı. Matematikçi olarak kendisini Avrupa'daki matematik çevrelerine bir türlü kabul ettiremedi. Sonunda yirmialtı yaşında, yokluk içinde veremden öldü. Ölümünden iki gün sonra adına bir mektup geldi; Berlin Üniversitesi'nden gönderilmiş olan mektup, Abel'in ölümünden habersiz, genç matematikçiye çalışmalarının dikkat çektiğini ve kendisine üniversitede iş teklif ettiklerini bildiriyordu. Öldükten sonra anlaşılma olgusunun bu denli tez gerçekleştiği bir daha görülmedi...


    Galois'nın Öyküsü

    Fransız matematikçisi Galois, 1811-1832 yılları arasında yaşadı. Abel'in çağdaşı olan bu matematikçinin doğum ve ölüm tarihlerine bakarsanız yirmibir yıllık bir ömür sürdüğünü görür ve bu işte bir yanlışlık olduğunu düşünebilirsiniz. Hiçbir yanlışlık yok. Galois'nın hayatı Brezilya dizilerine konu olmaya aday şanssızlıklarla sürüp gitmiş ve yirmibir yılda tükenmiştir. Galois'nın hayatı ile ilgili ayrıntıları ansiklopedilere bırakıp biz onun matematik yaşantısına bakalım. Daha onaltı yaşında iken pek çok matematik klasiğini okumuş biri olmasına rağmen üniversiteye kabul edilmedi. Kendisini kanıtlamak için onyedi yaşında zamanın tanınmış matematikçilerinden Cauchy'ye verdiği makalesini Cauchy kaybetti! (Tanrılar yeni isimler istemezler!) Onsekiz yaşındayken bir yarışmaya soktuğu bir diğer makalesi yarışmanın hakemi Fourier ölünce kayboldu... Zorla girebildiği öğretmen okulundan okul yönetimini eleştirdiği için kovuldu. Bir dergiye sunduğu bir başka makalesi, hakem ispatların içinden çıkamadığı için reddedildi. Siyasi nedenlerle iki kez hapse girip çıktı.


Galois'nın o ölümcül düellodan önceki son gecesinde yazdığı mektup. "Galois Teorisi" adıyla bilinen fikirlerini o gece arkadaşına bu mektupta açıklamıştı. Mektup şu cümlelerle biter: "Bu mektupta anlattıklarımın, doğruluğundan çok önemi konusunda Jacobi ve Gauss'un görüş belirtmelerini iste. İlerde, bu karmaşayı çözmekte kendilerini yarar görecek birilerinin çıkacağını umut ediyorum." Tarih, 29 Mayıs 1832...


    Ve nihayet, ertesi sabah düello edeceği, o soğuk mayıs gecesi gelip çatar. Galois henüz yirmibir yaşındadır. Tüm hayatı siyasi fikirler ve matematik teorileriyle geçmiş bir genç elbette insan öldürme 'sanatı' üzerine bilgisizdir. Öldürüleceğini anlar. Oysa daha kafasındaki matematik fikirlerini olgunlaştıracak zamanı olmamıştır. Ölümün bekleme odasında volta vurduğu bir saatte bu genç adam insanoğlunun ölümsüzler listesine adını yazdırmak için son kez hamle yapar.

    Bu son gece Galois arkadaşı Chevalier'e bir mektup yazar. Bu mektupta Gauss'un kullandığı bazı teknikleri genelleştirerek derecesi dörtten büyük olan her polinom için çalışacak bir kök bulma yöntemi bulmanın neden imkânsız olduğunu anlatır, içinde kökleri aradığımız sayı sistemleri "cisimler" ile kökleri kendi arasında döndüren permütasyon "grupları" arasında daha önce gözlenmemiş ilişkiler bulur. Bu ilişkiler yumağına bugün genel olarak Galois teorisi denir. Denklemin katsayılarını içine alan sayı sistemine denklemin tüm köklerini teker teker katarak sistemi büyüttüğümüzü düşünelim. Öte yandan tüm kökleri kendi arasında dönüştüren permütasyon grubu ve onun bazı kökleri sabit bırakan alt gruplarını düşünelim. Galois bu iki dünya arasında köprü kurar ve bir taraftaki kök bulma problemini öbür tarafta bir grubun yapısını inceleme problemine dönüştürür. Görür ki eğer bu tarafta kök bulunabiliyorsa öbür tarafta da grubun özel bir yapısı olması gerekir. Oysa bu özel yapının, derecesi dörtten büyük denklemlere karşılık gelen gruplarda, her zaman olmadığını tespit eder.

    Sonuç olarak insanlığın ikibin yıldır aradığı kökler, basit cebirsel yöntemlerle bulunamaz, işte Galois teorisinin basit bir özeti. Belki bu 'basit' açıklama size gereğinden fazla ayrıntılı ve teknik gelmiş olabilir. Daha kısa ve daha öz Galois teorisini neden anlatamayacağımı Galois teorisi hakkında söylenen bir sözle açıklayayım; "Galois teorisi sarımsağa benzer, azı olmaz..."

    Galois'nın mektubu ölümsüzlüğe doğru fırlatılmış bir çığlıkla biter: "Bütün bu karmaşık hesapları açmakta kendisine yarar görecek birilerinin çıkacağını umarım." Ertesi gün düelloda vurulur. Hastanede bir gün can çekiştikten sonra ölür. Arkadaşı bu mektubu üç ay sonra yayınlarsa da mektup ilgi görmez. Ancak ölümünden yirmidört yıl sonra bu genç yaşta ölen adama ilgi duyan bazı matematikçiler onun son mektubunun içindeki karmaşayı çözmekte kendilerine yarar görürler ve...


    Osmanlı Boş Durur mu?

    Abel ve Galois'nın denklem çözümleri üzerine bilim ve teknolojinin gelişmesini etkileyen çalışmalar yaptığı sıralarda Osmanlı'da III. Selim tahta geçmiştir. Zamanın en bilgili ve en saygın bilim adamı Şanizade Atâullah Efendi'dir. Bizim topraklarda meyve veren ağacı taşlamak âdetten olduğu için Atâullah Efendi de hak ettiği yerlere bir türlü gelemez. Saray hekimi ölünce yerine onun atanması beklenirken bu gerçekleşmediği gibi saray hekimliğine atanan sadrazamın adamı hakkında dedikodu ettiği iftirasıyla sürdürülür. Padişah daha sonra durumu anlar ve Atâullah Efendi hakkında af çıkarır. Fakat Atâullah Efendi'ye af fermanını götüren görevli heyecandan şaşırıp "Itlakınıza (affınıza) ferman getirdim" diyecek yerde "itlafınıza (idamınıza) ferman getirdim" deyiverince Atâullah Efendi fenalaşır ve ölür...(*2)


    Hayyam Üzerine

    Onbirinci yüzyılın önemli matematikçilerinden olan Hayyam, çalışmalarını insanlık mirasına kaydettirememişler arasında önemli bir yer tutar. Her matematikçi gibi dile ve edebiyata meraklı olmasaydı, o ince bir zekâyla yazılmış rubailerini üretmeseydi çorak bir toprakta coşup akıp gitmiş bir nehir gibi unutulacaktı. O rubaileriyle kendisini uygarlık kayıt defterine yazdırmış ve o sayede de diğer çalışmaları yüzyıllar sonra dikkat çekebilmiştir. Kültür emperyalizmi yapılıp kültür mirasları hoyratça belli kültürlere mal edilirken belki de Hayyam bir şarap testisi kılığında köşesinden bizi izliyordu; acaba testiler bu yüzden mi ağlar... Yüzlerce yıl sonra Avrupa'da bulunacak ve başka değerli matematikçilerin adlarının yanına yazılacak bazı teoremleri bulmuş, ama yaşadığı topraklardaki dostları onun çalışmalarıyla kendilerini de yüceltecek yerde, giremedikleri tarihe onu da sokmama mücadelesini başarıyla verdikleri için köşesinde mahzun kalmıştır. Belki de bunlardan dolayıdır o rubailerdeki burukluk:

    Ey çark-ı felek bil ki çöküşüm senden.
    Ezmek senin eski huyun, cilven.
    Ey toprak deşsek bağrın, içine baksak
    Nice cevherler görürüz ki silinip giden. (*3)


    Eflatun Platon'un Nesi Olur?

    Lise yıllarının artık silikleşen anıları arasında hâlâ hatırladığım bazı sözlü sınavlar vardır. Bunlardan birinde psikoloji hocamız sözlüdeki arkadaşa, muzip olduğunu saklamaya çalışan bir ses tonuyla sorardı: "Eflatun'un babası Platon'un amcasının nesi olur?" Kitabın kapağını dahi açmamış olan arkadaşımız bu sorunun dersin hangi maddesine girdiğini kestirmeye çalışır, bocalar ve bizler de acımasızca gülerdik. Hocamız bununla yetinmez, herkes güldüğü için yalancıktan gülen birini bulur soruyu bu kez ona yöneltirdi. Çeyrek yüzyıl sonra bu konu yine karşıma çıktı. Popüler bir kitapta Eflatun'dan mı söz etmeli yoksa Platon'dan mı? Yıllar önce kahkahalarla güldüğüm bir oyunun başoyuncusu oluverdim birden... Yalnız Eflatunla Platon mu? Ya Öklit'le Eukleides? Hangisi daha önemli, bu kitapta hangisinden söz etmeli?

    Elbette kaynak yayınlara, ansiklopedilere başvurmak gerekir. Ama onların da bu konuda tam bir fikir birliği içinde olduğu söylenemez. Örneğin Fisagor, Pisagor ve Pythagoras'ı ele alalım. Ben çocukken Hayat Ansiklopedisi vardı ve orada "Fisagor Teoremini" okuyup daha önce hiç tatmadığım bir zevki tattığımı hatırlarım. Daha sonra Meydan Larousse girdi hayatımıza. Meydan Larousse'da "Fisagor" başlığı yanında "Bk. Pythagoras" yazar. Son zamanlarda hayatımıza giren AnaBritannica'da ise "Fisagor" başlığı yer almaz. Onun yerine daha önceki ansiklopedilerde boy göstermemiş bir kişi, "Pisagor" gelmiştir "bak. Pythagoras" açıklamasıyla... Ayrıca Meydan Larousse "Arşimet, Bk. Arkhimedes" ve "Öklid, Bk. Eukleides" başlıklarını verirken AnaBritannica "Arşimed, bak. Arkhimedes" ve "Öklit, bak. Eukleides" başlıklarını verir. Bu yetmezmiş gibi Meydan Larousse "Eflatun, Yunancası Platon ..." diye başlayıp uzun uzun bu konuyu anlatırken AnaBritannica "Eflatun, bak. Platon" demeyi yeğler.

    Bu kitapta bu çok tanınmış matematikçi ve filozoflar için kullanılan Türkçe popüler yazılımlar için AnaBritannica'yı kılavuz olarak aldım. Kitabımızın bu kahramanlarıyla ilgili daha ayrıntılı bilgi almak için literatüre başvurmayı düşünen okuyuculara kolaylık olması için aşağıda popüler adların literatürdeki karşılıklarını veriyorum. Diğer kahramanlarımız literatürdeki adlarıyla bize katıldılar:

      Arşimed = Arkhimedes
Eflatun = Platon
        Öklit = Eukleides
      Pisagor = Pythagoras



*1 Journal für die reine und angeuıandte Mathematik.
*2 Bkz. İstanbul Ansiklopedisi, 1. cilt, Atâullah Efendi maddesi.
*3 Bkz. Bütün Yönleriyle Hayyam, Rüştü Şardağ, Özgür Yayın, 1985.

<< Önceki Sayfa - Ana Sayfa - Sonraki Sayfa >>